Ce Document présente les Stages de Transition Lycée Prépas organisés par l'Association GALILEE.

Cet exercice, qui vise à déterminer le nombre de décompositions d'un entier en combinaison de trois entiers donnés, est un grand classique. Il fait intervenir des techniques de décomposition en éléments simples de fractions rationnelles, de transformations de polynômes, ou d'invariance de fonctions rationnelles des racines par permutation.

L'étude de l'anneau des entiers de Gauss permet d'aborder le problème de la décomposition d'un entier en somme de deux carrés. Des notions essentielles sur les anneaux euclidiens et factoriels sont ainsi mises en oeuvre.

Les opérateurs normaux, c'est-à-dire qui commutent avec leur adjoint, et en particulier les opérateurs autoadjoints ou les endomorphismes orthogonaux, font l'objet de techniques spécifiques de diagonalisation.

Les notions de base de l'Algèbre Linéaire sont présentées ici : Espaces Vectoriels, Applications Linéaires, Bases, Sommes Directes, Théorème du Rang, Espace Dual, Application Transposée. Des Exercices, et des Travaux Pratiques approfondis, complètent cette présentation.

L'espace dual en dimension fini est présenté, et différents résultats en rapport avec le théorème du rang sont énoncés et démontrés. L'orthogonalité est également abordée, ainsi qu'une introduction à la notion d'espace dual topologique en dimension infinie.

Ce document comporte un large choix d'Exercices Corrigés, sur les thèmes suivants : matrices, déterminants, rang, théorèmes classiques (Cayley-Hamilton), formes bilinéaires, etc...

Cet article étudie la représentation d'un entier en somme de trois carrés ou en somme de trois cubes. Des observations statistiques permettent de décrire la structure spatiale de cette représentabilité. Une analyse par bases de congruence permet d'en donner une explication logique.

Cet Article de Recherche original étudie le lien entre la périodicité du développement décimal d'une fraction et le dénominateur de celle-ci. On voit ainsi apparaître des entiers qui jouent un rôle particulier : les repunits, dont l'écriture ne comporte que des chiffres 1.

La technique de calcul de la courbe enveloppe d'une famille de courbes paramétrées est décrite, puis illustrée sous formes d'exemples

Cet exercice propose l'étude de la Cardioïde selon plusieurs définitions géométriques : comme épicycloïde, comme conchoïde de cercle, comme podaire de cercle, et comme courbe enveloppe d'une famille de cercles.

On donne les deux théorèmes essentiels sur la continuité d'une fonction réciproque, avec une démonstration la plus simple possible. Le résultat sur les valeurs intermédiaires d'une fonction dérivée (Théorème de Darboux) est également présenté.

Ce résumé décrit la construction de l'intégrale de Riemann des fonctions continues sur un segment, il introduit la notion de somme de Riemann et de somme de Darboux, puis établit leur convergence quand le pas de la subdivision tend vers zéro.

Deux critères de géométrie analytique sont énoncés, concernant l'alignement de points ou le concours de droites dans le plan. Ils sont ensuite illustrés par un exercice sur la démonstration analytique des théorèmes de Céva et de Menelaus

Cet exercice semble être purement calculatoire à propos des racines carrées de rationnels; pourtant il ouvre aussi une perspective intéressante sur l'application de la notion d'extension algébrique

Un petit problème sur les équations algébriques : peut-on trouver trois équations du second degré dont les coefficients, aussi bien que les couples de racines, se déduisent les uns des autres par permutation circulaire ?

On cherche une fonction arithmétique vérifiant une inéquation fonctionnelle linéaire; les raisonnements téléscopiques sont à l'honneur mais mis bout à bout ne présentent pas de grande difficulté

Démonstration d'une relation trigonométrique. Maniement des racines n-ièmes de l'unité, et des relations trigonométriques de linéarisation.

Un problème de divibilité entre deux entiers dépendant algébriquement d'un couple d'entiers donné, grand classique des olympiades en arithmétique ; On propose deux solutions, une basée sur la théorie des congruences, l'autre sur les equations du second degré; Curieusement, le problème se ramène en l'occurrence à trouver deux couples de nombres entiers echangeant leurs sommes et produits

Encore un problème arithmétique de divibilité; Pour en venir a bout, il faut être familier de la théorie des congruences et surtout, beaucoup d'astuce

Ce résumé présente et démontre dans le cas discret les principales propriétés de l'espérance et de la variance des variables aléatoires. Il donne ensuite des théorèmes basiques liés à l'utilisation de la loi conditionnelle, connus sous le nom de théorèmes de l'espérance totale et de la variance totale.

Quelques indications précieuses sur la résolution de ce joli problème d'algèbre linéaire, sur le thème de relations de commutation entre opérateurs.

Corrigé complet de la 2ème épreuve X 2010 portant sur l'étude de groupes d'opérateurs linéaires en dimension finie

Ce problème d'algèbre porte sur des groupes finis de matrices à coefficients entiers; il met en jeu des techniques d'algèbre linéaire et des éléments de thorie des groupes qui sont très instructifs; Voir aussi : l'énoncé du problème

Ce problème porte sur l'étude de groupes finis d'opérateurs linéaires.

Un joli problème d'Algèbre Linéaire, à propos de relations de commutation entre opérateurs.

Ce Document présente une vue d'ensemble exhaustive et détaillée des résultats de cours exigibles aux Concours en Math Spé MP

Ce Document donne un Résumé du Programme de Math Spé MP classé par Chapitres

Ce Résumé donne diverses définitions équivalentes de la limite supérieure et de la limite inférieure d'une suite de nombres réels avec les démonstrations

Ce document présente de manière détaillée les suites récurrentes d'ordre un, en démontrant les questions de vitesse de convergence, avec une illustration par la méthode de Newton et quelques exemples classiques

Ce document présente les principaux résultats sur les suites récurrentes d'ordre un. Ces suites peuvent servir de procédé d'approximation du point fixe d'une fonction.

Ce résumé présente l'étude standard des suites récurrentes linéaires d'ordre 2, puis introduit celle des suites récurrentes linéaires d'ordre p

Cet exercice propose de mener dans le détail l'étude de la suite récurrente définie par une fonction puissance. Dans le cas décroissant cette suite peut s'enrouler autour d'un point fixe mais aussi autour ou à l'intérieur du carré des points réciproques. Cet exercice illustre bien par ailleurs les techniques d'étude de variation au moyen de fonctions auxiliaires pour définir et placer les points remarquables.

Cet exercice étudie la suite récurrente d'ordre un définie par la relation : u(n+1)=u(n)(1-u(n)); il met en jeu des techniques fines d'étude à l'aide de séries et de logarithmes, ainsi que le critère de Riemann

Cet exercice étudie la suite définie par u(n+1)=racine p-ième du produit des p derniers termes; on se ramène à l'étude d'une moyenne mobile sur les logarithmes

Cet exercice présente quelques variantes classiques d'étude de suites définies par itération de la racine carrée

Cette Monographie présente avec les démonstrations détaillées la notion de Sommabilité et le lien qui existe avec celles de Convergence Absolue et Convergence Commutative dans le cas des séries; ces résultats sont appliqués à l'étude des séries doubles

Cet exercice présente l'étude d'une suite récurrente parabolique, avec point fixe et dans certains cas points réciproques. Cette étude à la fois théorique et empirique par simulation informatique fait apparaître des comportements instables aussi bien que des cas de convergence.

Deux méthodes de construction du complété d'un espace métrique sont décrites. Le cas particulier de la construction des réels à partir des rationnels est abordé.

Le corps des réels se définit comme un corps totalement ordonné archimédien complet. On relie ici cet axiome de complétude avec celui de la borne supérieure, et la propriété de convergence des suites adjacentes. Sont également abordées les notions d'adhérence et de point d'accumulation.

On donne la définition générale d'une topologie. Le cas des espaces métriques est ensuite décrit. On s'intéresse particulièrement à la compacité.

Fiche n°1 d'Exercices de Topologie. Trois exercices sont proposés ici : sur les limites sup et inf d'une suite, sur les compacts, sur la fermeture d'une partie d'un espace fonctionnel.

Corrigé de la Fiche n°1 d'Exercices de Topologie. Trois exercices sont proposés ici : sur les limites sup et inf d'une suite, sur les compacts, sur la fermeture d'une partie d'un espace fonctionnel.